قضیه حد مرکزی

Central limit theorem

قضیه حد مرکزی چیست؟

بیان می‌کند که اگر به تعداد زیاد از یک توزیع دلخواه نمونه برداری (با تعداد کافی بزرگتر مساوی 30) کنیم توزیع میانگین نمونه‌ها به سمت توزیع نرمال خواهد رفت. هم‌چنین میانگین توزیع شکل گرفته برابر با میانگین جامعه اصلی است که از آن نمونه برداری کردیم. انحراف معیار توزیع حاصل نیز برابر با نسبت انحراف معیار توزیع اصلی به جذر اندازه نمونه است. در تصویر زیر با تعداد مشخص شده نمونه 10 تایی از توزیع نرمال استاندارد گرفته‌ایم و هیستوگرام میانگین نمونه‌ها را ترسیم کرده‌ایم. می‌بینیم که میانگین‌ ها حدود صفر و انحراف معیار نیز حدودا مطابق به فرمول  است. اگر تعداد نمونه‌ها را به 100 افزایش داده و آزمایش زیر را مجددا تکرار کنیم مقدار انحراف معیار در همه موارد در حدود 0.1 خواهد بود.

برای دریافت آخرین‌های بلاگ و کارگاه‌های مرکز اطلاعات علمی در خبرنامه عضو شوید.

کد: Central Limit Theorem.ipynb.

اما این قضیه چه اهمیتی دارد؟ وقتی که ما میانگین یک نمونه را حساب می‌کنیم این مقدار تقریبی از میانگین جامعه است اما مانند هر تقریبی این تقریب نیز همراه با خطاست. بنا بر این قضیه می‌توانیم با اطمینان بیش‌تری  در مورد میانگین جامعه اصلی صحبت کنیم. این قضیه برای یادگیری ماشین نیز اهمیت دارد. پس از آن‌که مدلی را آموزش دادیم می‌خواهیم بدانیم که این مدل در دنیای واقع چگونه عمل‌ می‌کند. در واقع معیار ارزیابی ما روی یک نمونه (مجموعه آزمایش) محاسبه شده و تقریبی از واقعیت است. ممکن است تفاوت میان نتایج دو مدل تنها به دلیل نویز موجود در نمونه ما باشد. در واقع بازه اطمینان[1] نتیجه همین قضیه است. می‌توانیم چندین ارزیابی مستقل از یک مدل را به دست آوریم. میانگین این نتایج تقریب مطمئن‌تری با بازه اطمینان از عملکرد مدل در دنیای واقع خواهد بود.